2.4.1 二进制小数
2.4.1 二进制小数
理解浮点数的第一步是考虑含有小数值的二进制数字。首先，让我们来看看更熟悉的十进制表示法。十进制表示法使用如下形式：
dmdm-1...d1d0.d-1d-2...d-n
其中每个十进制数 di 的取值范围是 0~9。这个表达描述的数值 d 定义为：
d = Σi=-nm 10i × di
数字权的定义与十进制小数点符号（.）相关，这意味着小数点左边的数字的权是 10 的正幂，得到整数值，而小数点右边的数字的权是 10 的负幂，得到小数值。例如，12.3410 表示数字 1 × 101 + 2 × 100 + 3 × 10-1 + 4 × 10-2 = 12 34/100。
类似，考虑一个形如
bmbm-1...b1b0.b-1b-2...b-n+1b-n
的表示法，其中每个二进制数字，或者称为位，bi 的取值范围是 0 和 1，如图 2-31 所示。这种表示方法表示的数 b 定义如下：
b = Σi=-nm 2i × bi （2.19）
符号 . 现在变为了二进制的点，点左边的位的权是 2 的正幂，点右边的位的权是 2 的负幂。例如，101.112 表示数字 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2-1 + 1 × 2-2 = 4 + 0 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 3/4。
从等式 (2.19) 中可以很容易地看出，二进制小数点向左移动一位相当于这个数被 2 除。例如，101.112 表示数 5 3/4，而 10.1112 表示数 2 + 0 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 2 7/8。类似，二进制小数点向右移动一位相当于将该数乘 2。例如 1011.12 表示数 8 + 0 + 2 + 1 + 1/2 = 11 1/2。
注意，形如 0.11...12 的数表示的是刚好小于 1 的数。例如，0.1111112 表示 63/64，我们将用简单的表达法 1.0 - ε 来表示这样的数值。
假定我们仅考虑有限长度的编码，那么十进制表示法不能准确地表达像 1/3 和 5/7 这样的数。类似，小数的二进制表示法只能表示那些能够被写成 x × 2y 的数。其他的值只能够被近似地表示。例如，数字 1/5 可以用十进制小数 0.20 精确表示。不过，我们并不能把它准确地表示为一个二进制小数；我们只能近似地表示它，增加二进制表示的长度可以提高表示的精度：
| 表示 | 值 | 十进制 |
|---|---|---|
| 0.02 | 0/2 | 0.010 |
| 0.012 | 1/4 | 0.2510 |
| 0.0102 | 2/8 | 0.2510 |
| 0.00112 | 3/16 | 0.187510 |
| 0.001102 | 6/32 | 0.187510 |
| 0.0011012 | 13/64 | 0.20312510 |
| 0.00110102 | 26/128 | 0.20312510 |
| 0.001100112 | 51/256 | 0.1992187510 |
练习题 2.45 填写下表中的缺失的信息：
| 小数值 | 二进制表示 | 十进制表示 |
|---|---|---|
| 1/8 | 0.001 | 0.125 |
| 3/4 | ||
| 25/16 | ||
| 10.1011 | ||
| 1.001 | ||
| 5.875 | ||
| 3.1875 |
练习题 2.46 浮点运算的不精确性能够产生灾难性的后果。1991 年 2 月 25 日，在第一次海湾战争期间，沙特阿拉伯的达摩地区设置的美国爱国者导弹，拦截伊拉克的飞毛腿导弹失败。飞毛腿导弹击中了美国的一个兵营，造成 28 名士兵死亡。美国总审计局（GAO）对失败原因做了详细的分析 [76]，并且确定底层的原因在于一个数字计算不精确。在这个练习中，你将重现总审计局分析的一部分。
爱国者导弹系统中含有一个内置的时钟，其实现类似一个计数器，每 0.1 秒就加 1。为了以秒为单位来确定时间，程序将用一个 24 位的近似于 1/10 的二进制小数值来乘以这个计数器的值。特别地，1/10 的二进制表达式是一个无穷序列 0.000110011[0011]...2，其中，方括号里的部分是无限重复的。程序用值 x 来近似地表示 0.1，x 只考虑这个序列的二进制小数点右边的前 23 位：
x = 0.000110011001100110011002
（参考练习题 2.51，里面有关于如何能够更精确地近似表示 0.1 的讨论。）
A. 0.1 - x 的二进制表示是什么？
B. 0.1 - x 的近似的十进制值是多少？
C. 当系统初始启动时，时钟从 0 开始，并且一直保持计数。在这个例子中，系统已经运行了大约 100 个小时。程序计算出的时间和实际的时间之差为多少？
D. 系统根据一枚来袭导弹的速率和它最后被雷达侦测到的时间，来预测它将在哪里出现。假定飞毛腿的速率大约是 2000 米每秒，对它的预测偏差了多少？
通过一次读取时钟得到的绝对时间中的轻微错误，通常不会影响跟踪的计算。相反，它应该依赖于两次连续的读取之间的相对时间。问题是爱国者导弹的软件已经升级，可以使用更精确的函数来读取时间，但不是所有的函数调用都用新的代码替换了。结果就是，跟踪软件一次读取用的是精确的时间，而另一次读取用的是不精确的时间 [103]。