2.2.7 截断数字

假设我们不用额外的位来扩展一个数值，而是减少表示一个数字的位数。例如下面代码中这种情况：

int x = 53191;
short sx = (short) x;  /* -12345 */
int y = sx;            /* -12345 */

当我们把 x 强制类型转换为 short 时，我们就将 32 位的 int 截断为了 16 位的 short int。就像前面所看到的，这个 16 位的位模式就是 -12 345 的补码表示。当我们把它强制类型转换回 int 时，符号扩展把高 16 位设置为 1，从而生成 -12 345 的 32 位补码表示。

当将一个 w 位的数 x = [x_w-1, x_w-2, ..., x₀] 截断为一个 k 位数字时，我们会丢弃高 w-k 位，得到一个位向量 x' = [x_k-1, x_k-2, ..., x₀]。截断一个数字可能会改变它的值，溢出的一种形式。对于一个无符号数，我们可以很容易得出其数值结果。

原理：截断无符号数

令 x 等于位向量 [x_w-1, x_w-2, ..., x₀]，而 x' 是将其截断为 k 位的结果：[x_k-1, x_k-2, ..., x₀]。令 x = B2U_w(x)，x' = B2U_k(x')。则 x' = x mod 2^k。

该原理背后的直觉就是所有被截去的位其权重形式都为 2ⁱ，其中 i ≥ k，因此，每一个权在取模操作下结果都为零。可用如下推导表示：

推导：截断无符号数

补码截断也具有相似的属性，只不过要将最高位转换为符号位：

原理：截断补码数值

令 x 等于位向量 [x_w-1, x_w-2, ..., x₀]，而 x' 是将其截断为 k 位的结果：[x_k-1, x_k-2, ..., x₀]。令 x = B2U_w(x)，x' = B2T_k(x')。则 x' = U2T_k(x mod 2^k)。

在这个公式中，x mod 2^k 将是 0 到 2^k-1 之间的一个数。对其应用函数 U2T_k 产生的效果是把最高有效位 x_k-1 的权重从 2^k-1 转变为 -2^k-1。举例来看，将数值 x = 53 191 从 int 转换为 short。由于 2¹⁶ = 65 536 ≥ x，我们有 x mod 2¹⁶ = x。但是，当我们把这个数转换为 16 位的补码时，我们得到 x' = 53 191 - 65 536 = -12 345。

推导：截断补码数值

总而言之，无符号数的截断结果是公式（2.9），而补码数字的截断结果是公式（2.10）：

B2U_k([x_k-1, x_k-2, ..., x₀]) = B2U_w([x_w-1, x_w-2, ..., x₀]) mod 2^k　（2.9）

B2T_k([x_k-1, x_k-2, ..., x₀]) = U2T_k(B2U_w([x_w-1, x_w-2, ..., x₀]) mod 2^k)　（2.10）

练习题 2.24 假设将一个 4 位数值（用十六进制数字 0~F 表示）截断到一个 3 位数值（用十六进制数字 0~7 表示）。填写下表，根据那些位模式的无符号和补码解释，说明这种截断对某些情况的结果。

十六进制：原始值	十六进制：截断值	无符号：原始值	补码：原始值
0	0	0	0
2	2	2	2
9	1	9	-7
B	3	11	-5
F	7	15	-1

解释如何将等式（2.9）和等式（2.10）应用到这些示例上。